1. Множество А является подмножеством множества {1, 2, …, 2010} такое, что разность любых двух элементов множества А является не простым числом. Какое наибольшее число элементов может содержать множество А.

2. В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек. Каждый школьник посещает не более 100 кружков. Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок. Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и 11 девочек.

3. В треугольнике АВС вписанная окружность с центром I касается сторон АВ, BC и СА в точках M, N и K соответственно. Обозначим через Е  - точку пересечения прямых MN и AC. Докажите, что прямая IE перпендикулярна прямой BK. 

1.    За круглым столом сидят 6 мальчиков, изначально у каждого из них по 11 булочек. Каждую минуту один из мальчиков передает одну из имеющихся у него булочек своему соседу по часовой стрелке. Через 51 минуту у первого, третьего и пятого мальчика оказалось по 22 булочки, а у остальных — ни одной. Докажите, что каждый мальчик хотя бы раз передал одну из булочек. - решена!

Бахтишат Расул:

2.    На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков. - решена!

Сергей Шин:
Возьмем кол-во мальчиков за x, кол-во девочек за y, кол-во хомяков за z. 
Т.к. мы знаем, что вес всех мальчиков равен сумме веса всех девочек и веса всех хомяков ( по условию) 
мы можем составить уравнение: 
39х= 40у+z 
выразим у: 
у= (39х-z)/ 40 
прибавим и отнимем х: 
у=(40х-х-z)/40 
y=x - (x+z)/40 
x+z делится на 40, т.к. y и x - натуральные числа 
рассмотрим случай при х+z=40 
при помощи уравнений x+z=40 и 40y+z=39x составим систему: 
39x=40y+z 
x+z=40 

39x-z-40y=0 
x+z=40 сложим 2 уравнения, получим: 

40х-40y=40 поделим все уравнение на 40: 

x-y=1 
рассмотрим все возможные случаи: 
если x<20, то z>20 и наше предположение будет доказано 
если х=20, то z=20 и наше предположение будет доказано 
если x>20, тогда девочек будет либо 20 либо >20 а т.к. всего было не более 40 человек, то этот вариант будет противоречить условию(чтд) 

рассмотрим случай при х+z=80 
если z>20 или z=20 то доказано 
если z<20 то x>60 но не более 40 человек следовательно доказано 
при x+z> 80 будет аналогично этому случаю 

Ответ: девочки принесли как минимум 20 хомячков (чтд)

3.    Дано натуральное число n, большее 10. Докажите, что существует единственное натуральное m, при любом разбиении которого на два натуральных слагаемых сумма цифр первого слагаемого и сумма цифр второго слагаемого вместе составляют n.

почти полное решение (предложено Д.Аубекеровым):

Как и в прошлом году по воскресеньям (с 14:00 до 17:00) будут проводиться занятия по подготовки к Городской Жаутыковской олимпиаде. 29 января 2012 года состоится отборочный тур для формирования Группы. Пороговый бал - 0 баллов! В следующий раз попасть в список участников Группы можно будет только 26 февраля или, как и в прошлом году, можно стать участником группы, если первым пришлете решение одной из задач, которые будут выкладываться на этом сайте. Ознакомьтесь со следующими правилами обучения в Группе.

Правила обучения

Поскольку все занятия проводятся бесплатно, то необходимо соблюдать следующие правила обучения:
1.    Всем учащимся заранее (не позднее, чем за 3 дня) будет сообщено о точном времени проведении занятий (на сайте fizmatschool.ucoz.kz). Планируется, что занятия будут проводиться только по воскресеньям с 14:00 до 17:00. В случае опоздания (более 5 минут) на занятия - учащиеся не допускается. 
2.    Занятия проводятся на русском языке, однако будет поощряться, если учащийся говорит и пишет олимпиады на казахском языке.
3.    Каждое последнее воскресенье месяца будут проводиться письменные олимпиады.
4.    Если учащийся по какой-либо причине не был допущен на занятие или был выгнан, то он обязан ждать родителей на первом этаже школы (не выходить на улицу) или связаться с ними. 
5.    Учащиеся обязаны систематически посещать занятия (не менее 70%). В случае отсутствия на занятие, пропуск закрывается только путем показа соответствующего материала и ответа на один вопрос по нему. В случае наличия трех пропусков учащийся исключается из списков группы.
6.    Единственный способ быть снова включенным в список группы – набрать необходимое количество баллов на очередном отборочном туре.
7.    На первых двух отборочных турах пороговый бал будет равен 0, т.е. если учащийся наберет больше 0 баллов, то он будет включен в список Группы.
8.    Учащиеся обязаны вести на занятиях соответствующим образом: вежливое, тактичное обращение, как к учителю, так и к другим учащимся, отключение (или беззвучный режим) сотовых телефонов, без разрешения учителя учащийся не может уйти с занятия.
9.    Расписание остальных возможных кружков и дополнительных занятий (например, различные спортивные секции и языковые курсы, и т.п.) должно быть согласовано с занятиями группы.
10.    В течение всего периода обучения учащиеся обязаны своевременно выполнять задания учителя. В случае если будет обнаружено не выполнения домашнего задания как минимум два раза, учащийся будет исключен из списков группы (не обязательно решить все задачи домашнего задания, но обязательно пытаться каждую из них решить и в тетради должны быть подтверждающиеся записи).
11.    В связи с отсутствием экзамена, единственными формами контроля являются посещаемость и выполнение заданий. Каждое занятие планируется начинать либо с математической дуэли, либо математического боя, либо другого вида математического соревнования.
12.    Проигравший ученик показывает тетрадь. Победитель получает соответствующее количество баллов в рейтинг.
13.    Возможно, некоторым учащимся может быть предложено участие в выездных или заочных олимпиадах. В этом случае участие желательно.
14.    Только для учащихся школы «Келешек-РСФМСШИ»: представлять Школу на городской Жаутыковской олимпиаде по математике смогут только те учащиеся, которые 1 мая 2012 года будут входить в состав Группы.

Желательно в комментариях отметиться с указанием школы, чтобы было ясно география Группы.