1. За круглым столом сидят 6 мальчиков, изначально у каждого из них по 11 булочек. Каждую минуту один из мальчиков передает одну из имеющихся у него булочек своему соседу по часовой стрелке. Через 51 минуту у первого, третьего и пятого мальчика оказалось по 22 булочки, а у остальных — ни одной. Докажите, что каждый мальчик хотя бы раз передал одну из булочек. - решена!
Бахтишат Расул:
2. На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков. - решена!
Сергей Шин: Возьмем кол-во мальчиков за x, кол-во девочек за y, кол-во хомяков за z. Т.к. мы знаем, что вес всех мальчиков равен сумме веса всех девочек и веса всех хомяков ( по условию) мы можем составить уравнение: 39х= 40у+z выразим у: у= (39х-z)/ 40 прибавим и отнимем х: у=(40х-х-z)/40 y=x - (x+z)/40 x+z делится на 40, т.к. y и x - натуральные числа рассмотрим случай при х+z=40 при помощи уравнений x+z=40 и 40y+z=39x составим систему: 39x=40y+z x+z=40
39x-z-40y=0 x+z=40 сложим 2 уравнения, получим:
40х-40y=40 поделим все уравнение на 40:
x-y=1 рассмотрим все возможные случаи: если x<20, то z>20 и наше предположение будет доказано если х=20, то z=20 и наше предположение будет доказано если x>20, тогда девочек будет либо 20 либо >20 а т.к. всего было не более 40 человек, то этот вариант будет противоречить условию(чтд)
рассмотрим случай при х+z=80 если z>20 или z=20 то доказано если z<20 то x>60 но не более 40 человек следовательно доказано при x+z> 80 будет аналогично этому случаю
Ответ: девочки принесли как минимум 20 хомячков (чтд)
3. Дано натуральное число n, большее 10. Докажите, что существует единственное натуральное m, при любом разбиении которого на два натуральных слагаемых сумма цифр первого слагаемого и сумма цифр второго слагаемого вместе составляют n.
Бауржан Салимжанов, 7 "а", №27 гимназия. Задача №3. Предположим, что для любого n найдется натуральное m, что не противоречит условию. Пусть x и у сумма цифр слагаемых числа m. Найдем число m при n=11. Тогда х=1;2;3...11, тогда у=11-х. Найдем m для n: предположим, что m=1(нет), 2 (нет)...29 (да). Проверка: 29=15+14, (1+5+1+4=11); 29=20+9, (2+0+9=11) и т.д. Найдем число m при n=12. 12=11+1, следовательно 12=х+у+1. m= либо 30, либо 39. Проверим вариант с 30. 30=10+20, (1+0+2+0 не =12). Проверим вариант с 39. 39=14+25, (1+4+2+5=12). Следовательно для n=12, m=39. Рассмотрев некоторые случаи, можно заметить закономерность, что при увеличении n+1, m увеличивается на 10. При n<9. Если n натуральное число, то можно найти m, так чтобы m !. Рассмотрев некоторые примеры, можно вычислить способ нахождения числа m. m состоит из такого количества 9-к (если n/9) и остатка n/9. m составлено в таком порядке, что остаток при делении вначале, а за ним следует нужное количество 9-к. К примеру, рассмотрим число m для числа 1998. По замеченной закономерностью m=1998/9 и, расставив числа в нужном порядке, мы получаем число 999...9 222 раза. Т.к. делитель и делимое натуральные числа, то и m будет натуральным числом. Т.к. m состоит из 9-к и остатка числа n, то m единственное для числа n. Ч.т.д.
Бауржан, я надеюсь вы понимаете, что ни единственность ни существование не доказали? Ведь рассуждения типа если н=11,24, и т.п. не явл-ся решением. Аналогично с вашим примером можно сказать, что у вас очень хорошое воображение.но не смотря на это док-во что этот пример подходит мы не увидели. Ибрагим Жоржевич, ав каком году предлагалась эта задача случайно не в 1998?
Осталась последняя задача. Новые задачи будут только на следующей неделе или на этой, если все задачи будут решены! Дерзайте, но помните, что задача совсем не простая.
Бейсенбаев Олжас 6"В" класс, "Келешек-РСФМСШИ" Задача №3. Ответ: да, такое m существует, чтобы из m сделать n нужно сделать так чтобы m было=n, в остальных других случаях будет неправильный ответ (к примеру возьмем n за 12 тогда m будет равно 12 и если m поделить на слагаемые то получится вот так-1и11, 2и10, 3и9, 4и8, 5и7, 6и6 ; при сложении этих чисел получится число n , рассмотрим другие случаи например числа: 336, 1200, 903, 57, 84, 543 и т.д. , при сложении суммы цифр слагаемых этих чисел может получится n но не со всеми слагаемыми , предположим мы 543 разделим на 2 слагаемых-540и3, сумма цифр слагаемых будет равна 12 но когда мы разделим на слагаемые 280и263 то суммой цифр будет не 12 а 21)
Любого конечного числа примеров будет не достаточно для решения этой задачи. Необходимо осуществлять рассуждения в общем виде. Задача сложная. Хорошо подумайте.
не плохая попытка. Однако задача №3 пока еще не решена. 1. В ваших рассуждениях не рассмотрен случай, когда числа m и p оканчиваются на 0. В этом случае вычитание 1 может сильно повлиять на сумму цифр числа. 2. У вас не доказано существование такого числа. Вы только пытались доказать единственность, в предположении, что такое число существует. Пробуйте. Но это сложная задача.
Мансур Мадихан 6''В'' класс. "Келешек- РСФМСШИ". Задача 1.Допустим,что первый третий и пятый не передают бутылочки никому и если шестой будет передавать первому,второй третьему,четвёртый пятому.то на это займет 33 мин.Останеся 18 мин.33 минуты уходит на то,чтобы у третьего первого и пятого накопилось 11 бутылочек.Вместе со своими уних будет 22 бутылочки.остальные 18 мин они будут передавать одну и туже бутылочку у каждого нечетного мальчика.И так как 18/6мальчиков=3,то бутылочка пройдет 3 круга и вернется к своему мальчику который начинал.
Вы повторили рассуждения Данияра. Однако это не является полным решением. Лучше исправить его "дыры" и тогда решение этой задачи будет вашим. Не нужно выкладывать одно и тоже. Повторения были удалены.
рассмотрим случай при х+z=80 если z>20 или z=20 то доказано если z<20 то x>60 но не более 40 человек следовательно доказано при x+z> будет аналогично этому случаю
На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков.
Возьмем кол-во мальчиков за x, кол-во девочек за y, кол-во хомяков за z. Т.к. мы знаем, что вес всех мальчиков равен сумме веса всех девочек и веса всех хомяков ( по условию) мы можем составить уравнение: 39х= 40у+z выразим у: у= (39х-z)/ 40 прибавим и отнимем х: у=(40х-х-z)/40 y=x - (x+z)/40 x+z делится на 40, т.к. y и x - натуральные числа рассмотрим случай при х+z=40 при помощи уравнений x+z=40 и 40y+z=39x составим систему: 39x=40y+z x+z=40
39x-z-40y=0 x+z=40 сложим 2 уравнения, получим:
40х-40y=40 поделим все уравнение на 40:
x-y=1 рассмотрим все возможные случаи: если x<20, то z>20 и наше предположение будет доказано если х=20, то z=20 и наше предположение будет доказано если x>20, тогда девочек будет либо 20 либо >20 а т.к. всего было не более 40 человек, то этот вариант будет противоречить условию(чтд)
рассмотрим случай при х+z=80 если z>20 или z=20 то доказано если z<20 то x>60 но не более 40 человек следовательно доказано при x+z> 80 будет аналогично этому случаю
Ответ: девочки принесли как минимум 20 хомячков (чтд)
Поздравляю! Вы в списках группы. Будем ждать Вас в это воскресенье на занятия. Начала в 14:00. Не опаздывайте. Если опоздаете более чем на 5 минут, то зайти не сможете.
Извиняюсь, опять допустил ошибку в написании На медосмотр пришли мальчики весом 39 кг и девочки весом 40 кг, всего не более 40 человек. Накануне девочки грозились принести на медосмотр своих хомячков (каждый хомяк весит 1 кг). На медосмотре выяснилось, что мальчики весят в сумме столько же, сколько девочки вместе с хомячками. Докажите, что девочки принесли как минимум 20 хомячков.
Возьмем кол-во мальчиков за x, кол-во девочек за y, кол-во хомяков за z. Т.к. мы знаем, что вес всех мальчиков равен сумме веса всех девочек и веса всех хомяков ( по условию) мы можем составить уравнение: 39х= 40у+z выразим у: у= (39х-z)/ 40 прибавим и отнимем х: у=(40х-х-z)/40 y=x - (x+z)/40 x+z делится на 40, т.к. y и x - натуральные числа рассмотрим случай при х+z=40 при помощи уравнений x+z=40 и 40y+z=39x составим систему:
39x=40y+z
x+z=40
39x-z-40y=0
x+z=40 сложим 2 уравнения, получим:
40х-40y=40 поделим все уравнение на 40:
x-y=1 рассмотрим все возможные случаи: если x<20, то z>20 и наше предположение будет доказано если х=20, то z=20 и наше предположение будет доказано если x>20, тогда девочек будет либо 20 либо >20 а т.к. всего было не более 40 человек, то этот вариант будет противоречить условию(чтд) Ответ: девочки принесли как минимум 20 хомячков (чтд)
У вас довольно хорошая попытка решения. Однако я могу принять только абсолютно полное и правильное решение. И хотел бы Вам напомнить правило в математике: если кто-то исправит "дыру" (ошибку, не доказанное утверждение и тп.), то считатется, что он полностью решил задачу. Вы не объяснили почему х+z не может быть равно другому числу, кратному 40. Пробуйте. Я верю, что у вас получится. Но помните, что эту "дыру" может кто-то другой исправить. Предыдущие ваши варианты решения были удалены. Таким образом, задача №2 пока не решена.
Бейсенбаев Олжас 6"В" класс, "Келешек-РСФМСШИ" Задача №3. Ответ: да, такое m существует, чтобы из m сделать n нужно сделать так чтобы m было=n, в остальных других случаях будет неправильный ответ (к примеру возьмем n за 12 тогда m будет равно 12 и если m поделить на слагаемые то получится вот так-1и11, 2и10, 3и9, 4и8, 5и7, 6и6 ; при сложении этих чисел получится число n , рассмотрим другие случаи например числа: 336, 1200, 903, 57, 84, 543 и т.д. , при сложении суммы цифр слагаемых этих чисел может получится n но не со всеми слагаемыми , предположим мы 543 разделим на 2 слагаемых-540и3, сумма цифр слагаемых будет равна 12 но когда мы разделим на слагаемые 280и263 то суммой цифр будет не 12 а 21) 
